Persamaan Kuadrat MATEMATIKA

 

Persamaan Kuadrat 

Hai sobat matematika!!

Pernahkah anda melihat bentuk lintasan peluru meriam, kabel yang kendor di jalan raya, bentuk parabola?

Saya kira Anda akan dengan mudah menyebutkan apa kesamaan dari semua bentuk-bentuk tadi.

Ya, semua bentuk tadi mempunyai kesamaan bentuk yaitu melengkung.

Ada satu titik dari bentuk tadi yang menjadi titik ekstrim, yaitu titik yang paling bawah atau titik yang paling atas.

Dalam dunia matematika, bentuk-bentuk tadi meruapakan grafik dari fungsi kuadrat.

Sebelum belajar fungsi kuadrat, kita belajar dahulu dengan persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang selalu menjadi bab yang menjadi idola bagi guru dan pembuat soal. Hal ini dikarenakan begitu banyak macam variasi soal yang dapat dibuat.

Sayangnya bagi beberapa siswa merasa kesulitan di bab persamaan kuadrat ini. Sulit untuk memahami begitu banyak variasi soal tersebut.

Ingin tahu bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mudah?

Saya coba tunjukkan beberapa cara bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat.

Apa itu Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi dua adalah 2 (dua).

Variabel dari suatu persamaan yang dimaksud adalah nilai yang belum ditentukan. Kalau di pelajaran, variabel ini sering dinyatakan dengan huruf x$x$.

Namun, variabel tidak terbatas pada x$x$ saja. Boleh diganti dengan p$p$, bisa dengan 2x$2x$ bahkan bisa diganti dengan huruf lain atau angka lain.

Lebih mudahnya, bayangkan saja variabel persamaan kuadrat ini adalah suatu kotak yang bisa diisi dengan sebarang sesuatu.

Jadi bentuk umum persamaan kuadrat

ax2+bx+c=0,   a≠0$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

 

dimana a,b,c∈R$a,b,c\in \mathbb{R}$ atau bilangan riil. Huruf x$x$ disebut variabel dari persamaan kuadrat, a$a$ dinamakan koefisien x2$x^2$, sedangkan b$b$ merupakan koefisien dari x$x$ dan c$c$ adalah konstanta.

Suatu persamaan dengan variabel yang belum ditentukan nilainya membutuhkan solusi.

Solusi di sini maksudnya adalah suatu nilai x$x$ yang memenuhi persamaan kuadrat. Dengan kata lain, jika nilai x$x$ disubtitusi ke dalam persamaan, maka persamaan bernilai benar.

Solusi dari persamaan kuadrat lebih dikenal dengan akar-akar persamaan kuadrat.

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat adalah semua nilai yang memenuhi persamaan kuadrat. Nilai yang apabila disubtitusikan ke dalam persamaan kuadrat akan menjadikan persamaan tersebut pernyataan yang benar.

Contoh 1
Bilangan x=2$x=2$ merupakan solusi dari persamaan kuadrat

3x2−13x+14=0$$3x^2-13x+14=0$$

karena jika nilai x=2$x=2$ disubtutisikan ke dalam persamaan kuadrat tersebut menjadi

3(22)−13(2)+143(4)−26+1412−26+14===000$$\begin{array}{rcl}3(2^2)-13(2)+14& =& 0\\ 3(4)-26+14& =& 0\\ 12-26+14& =& 0\end{array}$$

Jadi persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Oleh karena itu, x=2$x=2$ terbukti menjadi akar dari persamaan kuadrat 3x2−13x+14=0$3x^2-13x+14=0$.

Lalu bagaimana mencari semua akar-akar dari persamaan kuadrat?

Terdapat tiga macam cara untuk menemukan akar-akar persamaan, yaitu dengan pemfaktoran, kuadrat sempurna dan dengan memakai rumus mencari akar persamaan kuadrat.

Kenapa ada tiga macam cara ya?

Terkadang pencarian akar-akar persamaan kuadarat lebih mudah ditemukan dengan menggunakan satu cara saja dibandingkan dengan cara yang lain.

Akan tetapi ada juga menyelidiki akar-akar persamaan kuadrat bisa dikerjakan oleh ketiga cara tersebut.

Kita lihat cara yang pertama terlebih dahulu, yaitu pemfaktoran

#1. Pemfaktoran

Cara mencari akar-akar persamaan kuadrat yang pertama adalah dengan memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut.

Pemfaktoran ini adalah proses menjadikan persamaan kuadrat  menjadi perkalian dua faktor.

ax2+bx+c(x−x1)(x−x2)==00$$\begin{array}{rcl}a{x}^2+bx+c& =& 0\\ (x-x_1)(x-x_2)& =& 0\end{array}$$

Nilai x1$x_1$ dan x2$x_2$  adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$ atau juga disebut solusi dari persamaan kuadrat.

#2. Kuadrat Sempurna

Salah satu untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan membentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kudarat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut

(x−a)2=b    dengan q>0$${\left(x-a\right)}^2=b\text{dengan }q>0$$

#3. Rumus

Cara yang paling cepat dan seringkali digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan menggunakan rumus abc$abc$. Barangkali cara ini adalah satu-satunya cara yang bisa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dalam bentuk apapun karena langsung mensubtitusikan nilai-nilai koefisien pada persamaan kuadrat. Rumus mencari akar-akar dari persamaan kuadrat 

ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$ yang dimaksud adala

x1,2=−b±b2−4ac−−−−−−−√2a$$$$
$$$$
$$$$
$$$$

Contoh

Cari akar-akar dari persamaan kuadrat

x2+x−2=0$$x^2+x-2=0$$

Cara I (Memfaktorkan)

Persamaan kuadrat x2+x−2=0$x^2+x-2=0$ dapat difaktorkan menjadi

x2+x−2(x+2)(x−1)⇔x1x2====00−2  atau1$$\begin{array}{rcl}{x}^2+x-2& =& 0\\ (x+2)(x-1)& =& 0\\ \iff x_1& =& -2\text{atau}\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Jadi akar-akar dari x2+x−2=0$x^2+x-2=0$ adalah -2 dan 1.

Cara II (Melengkapkan Kuadrat Sempurna)

x2+x−2x2+xx2+x+(12)2(x+12)2x+12⇔x1x2=−32−12=−2======022+1494±3232−12=1$$\begin{array}{rcl}{x}^2+x-2& =& 0\\ x^2+x& =& 2\\ x^2+x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2& =& 2+\frac{1}{4}\\ {\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2& =& \frac{9}{4}\\ x+\frac{1}{2}& =& \pm \frac{3}{2}\\ \iff x_1& =& \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\\ x_2=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2\end{array}$$

Jadi akar-akar dar ix2+x−2=0$x^2+x-2=0$ adalah -2 dan 1.

Cara III (Rumus abc$abc$)

Dari persamaan kuadrat x2+x−2=0$x^2+x-2=0$ diperoleh koefisien-koefisien a=1,b=1,c=−2$a=1,b=1,c=-2$. Dengan memakai rumus abc$abc$ diperoleh

x1,2⇔x1x2=====−b±b2−4ac−−−−−−−√2a−1±12−4⋅1⋅(−2)−−−−−−−−−−−−√2⋅1−1±9–√2−1−32=−2−1+32=1$$\begin{array}{rcl}{x}_{1,2}& =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}\\ & =& \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}\\ \iff x_1& =& \frac{-1-3}{2}=-2\\ x_2& =& \frac{-1+3}{2}=1\end{array}$$

Jadi akar-akar dari x2+x−2=0 $x^2+x-2=0$ adalah -2 dan 1.